《deformation transfer for triangle meshes》回顾
之前garment transfer的project中有使用到deformation gradient作为deformation representation，deformation gradient这个概念出自Sumner于04年在TOG上发表的一篇paper “Deformation Transfer for Triangle Meshes”，现进行回顾。
这个work的idea在于可以将某个mesh的deformation迁移至其它的mesh上，如下图，马的动作可以被迁移至骆驼上。
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第一行：左侧为canonical space的source reference（记为source），右侧为不同pose下的deformed source。
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第二行：左侧为cononical space的target reference（记为target），右侧为根据Source的deformation得到的deformed target，可以看出deformed target与deformed source的pose一致。
那么问题来了，怎么实现这样的transfer呢？这里先给出paper的pipeline：
Step1: 找一个transformation matrix，用于表示由source至deformed source的deformation，记为deformation gradient；
Step2: 建立一个source与target之间的mapping，以明确apply deformation时的correspondence；
Step3: 通过mapping建立的correspondence，将deformation gradient作用于canonical space的target；
Step4: 此时会发现deformed target会裂开，添加共点约束，确保shared vertices会transform至相同位置。
1 deformation gradient
deformation gradient用于描述两个相同拓扑mesh之间的线性变换，其encoding的内容为triangle的orientation、scale、rotation。由于仅根据三角形顶点坐标无法判断变形后face的方向是否正确，Sumner提出了引入第四个顶点，为deformation gradient添加方向信息：
\[v_{4} = v_{1} + (v_{2} - v_{1}) / \sqrt{|v_{2} - v_{1}| \times v_{3} - v_{1}}\]这里为什么要scale一下，是为了保证与edge的长度成比例。则transformation可定义为：
\[Qv_{i} + d = \tilde{v}_{i}, i \in 1...4\]将\(v_{1},...,v_{4}\) 代入上式，可消除d，得到\(QV = \tilde{V}\)，其中：
\[V = [v_{2} - v_{1}, v_{3} - v_{1}, v_{4} - v_{1}]\] \[\tilde{V} = [\tilde{v}_{2} - \tilde{v}_{1}, \tilde{v}_{3} - \tilde{v}_{1}, \tilde{v}_{4} - \tilde{v}_{1}]\]则deformation gradient（Q）可表示为：
\[Q = \tilde{V}V^{-1}\]2 Mapping
至此我们已经有了Q，并可以通过Q将source变形至deformed source，但是还有一个问题是如何将Q作用于target？这时便需要对source和target的triangle进行mapping，以确定source某triangle的deformation gradient对应至target的哪个triangle。
这个mapping是user specified，可以自行设定（如手动指定、找最近点等）。
3 Consistency Constraint
现在有了mapping的correspondence，我们可以找到source中每个triangle的deformation gradient对应至target的具体位置，并对target进行变形，但是如果直接这样做会出现下图的情况：
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A: 将source->deformed source的deformation gradient作用于target，可以看出target裂开了，而且pose并没有变，只是triangle的orientation、scale、rotation发生了变化。这是因为deformation gradient并没有对translation进行encoding，故deformed target不包含translation。
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B: 既然A中的target没有translation，直接的想法是将source->deformed source的translation作用于target->deformed target，这样deformed target的pose变过来了，但是triangle是相互分裂的。原因很好理解：deformation gradient是作用于triangle的，对于vertices并没有添加约束，导致本该shared的vertices分开了。
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C: 原文在B的基础上添加了共点约束，使得deformed target的mesh是连续的。
接下来讲一下是怎么添加这个共点约束的。既然deformed target裂开了，那么我们就限制一下这个transformation，使得变换前后shared vertices都必须共点，根据上述描述，可以写出约束方程：
\[T_{j}v_{i} + d_{j} = T_{k}v_{i} + d_{k}, \quad \forall i, \forall j,k \in p(v_{i})\]其中，\(p(v_i)\)表示顶点i的一阶邻域中的顶点。这个式子怎么理解呢？看一下下面这张图就能明白：
既然我们要求triangle在进行transformation前后vertex是shared，那么对于这个vertex周围的所有triangle，它们的affine transformation对于顶点i的变换结果应该是相同的。
那么共点约束的目标方程可改写为：
\[\underset{T_{1} + d_{1}, ..., T_{|T|} + d_{|T|}}{min} \sum_{j=1}^{|M|} || S_{S_{j}} - T_{t_{j}} {||}_{F}^{2} \\ s.t. \quad T_{j}v_{i} + d_{j} = T_{k}v_{i} + d_{k}, \quad \forall i, \forall j,k \in p(v_{i})\]这样便可求解出\(T\)了。paper中还对这个解法进行了进一步优化，可以直接求解出deformed vertices，这里不再展开了。